Rođen je u Prokuplju 1931. Po završetku osnovne škole, 1947. godine, počinje samouk da svira klarinet. Dolazi u Beograd 1950. godine, gde diplomiraa i magistrira klarinet na Muzičkoj akademiji u klasi profesora Brun Bruna. Ujedno je i radio u Narodnom orkestru Radio-televizije Beograd, koji je vodio Vlastimir Pavlović Carevac. Od 1950. godine počinje njegova uspešna muzička karijera. Studirao je engleski jezik na Filozofskom fakultetu u Beogradu, a iste 1950. godine u Muzičkoj školi Josip Slavenski u Beogradu, kod profesora Franje Partlića, polaže prvi razred pripremne nastave i automatski upisuje drugi razred. Postaje član seksteta Duška Radetića, od njegovog osnivanja 1951. godine u Radio Beogradu. Muzički urednik Radio Beograda, Đorđe Karaklajić, 1951. osniva Veliki narodni okestar RTB (i biva njegov prvi dirigent) koji je na seriozni način obrađivao jugoslovenske narodne melodije. Orkestrom su dirigovali i Dušan Skovran, rektor Muzičke akademije u Beogradu, i Đura Jakšić, direktor Muzičke škole Josip Slavenski u Beogradu. Božidar Milošević svirao je i u tom orkestru redovno. Od 1952. do 1956. godine školovao se u Srednjoj muzičkoj školi Josip Slavenski . U periodu od 1955. – 1958. godine svirao je i u Gudačkom orkestru RTB pod upravom Ilije Genića—Baćka.

Nakon smrti Vlastimira Pavlovića Carevca 1956. godine, violinista Miodraga Radeta Jašarevića postaje novi šef Narodnog orkestra Radio—televizije Beograd. Božidar Boki Milošević i dalje svira u tom orkestru kao solista na klarinetu.

U periodu od 1956 – 1960. studirao je na Muzičkoj akademiji u Beogradu sa prvom generacijom klarinetista (Ernest Ačkun, Mihailo Živanović, Milenko Stefanović) u klasi renomiranog profesora Bruno Bruna. Nakon toga upisuje magistarske studije, 1960. godine, a završava ih 1963. godine. Bavio se pedagoškim radom, radi kao profesor klarineta u Muzičkoj školi Josip Slavenski, koja je bila pri Muzičkoj akademiji u Beogradu. Od 1966. godine prelazi u Beogradsku filharmoniju gde biva njen član i solista.

Posle pogibije violiniste Miodraga Radeta Jašarevića, Božidar Milošević 1976. godine postaje šef već čuvenog Narodnog orkestra Radio—televizije Beograd i tu radi sve do penzionisanja, 1980. godine. Bio je 30 godina instrumentalni solista ovog orkestra.